Разностная схема
Разностная схема - это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное распределение). Таким образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения, поставленные в соответствие дифференциальному уравнению получаются применением разностного метода , что отличает теорию разностных схем от других численных методов решения дифференциальных задач (например проекционных методов, таких как метод Галёркина).
Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи.
Хотя формальное определение не накладывает существенных ограничений на вид алгебраических уравнений, но на практике имеет смысл рассматривать только те схемы, которые каким-либо образом отвечают дифференциальной задаче. Важными понятиями теории разностных схем являются понятия сходимости, аппроксимации, устойчивости, консервативности.
Аппроксимация
Говорят, что дифференциальный оператор , определённый на функциях , заданных в области , аппроксимируется на некотором классе функций конечно-разностным оператором , определённым на функциях , заданных на сетке, зависящей от шага , если
Говорят, что аппроксимация имеет порядок , если
где - константа, зависящая от конкретной функции , но не зависящая от шага . Норма , использованная выше, может быть различной, и понятие аппроксимации зависит от её выбора. Часто используется дискретный аналог нормы равномерной непрерывности :
иногда используются дискретные аналоги интегральных норм .
Пример . Аппроксимация оператора конечно-разностным оператором
на ограниченном интервале имеет второй порядок на классе гладких функций .
Конечно-разностная задача аппроксимирует дифференциальную задачу, и аппроксимация имеет порядок , если и само дифференциальное уравнение, и граничные (и начальные) условия аппроксимируются соответствующими конечно-разностными операторами, и аппроксимации имеют порядок .
Условие Куранта
Условие Куранта (в англоязычной литературе англ. Courant-Friedrichs-Levy condition , CFL) - скорость распространения возмущений в разностной задаче не должна быть меньше, чем в дифференциальной. Если это условие не выполнено, то результат разностной схемы может не стремиться к решению дифференциального уравнения. Другими словами, за один шаг по времени частица не должна «пробегать» более одной ячейки.
В случае схем, коэффициенты которых не зависят от решения дифференциального уравнения, условие Куранта следует из устойчивости.
Схемы на смещенных сетках
В этих схемах сетки, на которых задан результат, и данные смещены относительно друг друга. Например, точки результата находятся посередине между точками данных. В некоторых случаях это позволяет использовать более простые граничные условия.
См. также
Ссылки
- «Разностные схемы» - Глава в wikibooks на тему «Разностные схемы для гиперболических уравнений»
- Демьянов А. Ю., Чижиков Д. В. Неявная гибридная монотонная разностная схема второго порядка точности
- В. С. Рябенький, А. Ф. Филиппов. Об устойчивости разностных уравнений. - М .: Гостехиздат, 1956.
- С. К. Годунов, В. С. Рябенький. Введение в теорию разностных схем. - М .: Физматгиз, 1962.
- К. И. Бабенко. Основы численного анализа. - М .: Наука, 1986.
- Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, - Любое издание.
- Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы, - Любое издание.
- Г. И. Марчук. Методы вычислительной математики. - М .: Наука, 1977.
Примечания
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Разностная схема" в других словарях:
Система разностных уравнений, аппроксимирующих дифференциальное уравнение и дополнительные (начальные, граничные и др.) условия. Аппроксимация исходной дифференциальной задачи Р. с. это один из способов приближенной дискретизации исходной задачи … Математическая энциклопедия
разностная схема конечных элементов - метод конечных элементов — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом Синонимы метод конечных элементов EN finite volume difference schedule …
Разностная схема это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное… … Википедия
конечно-разностная схема расчёта на основе контрольных объёмов - (напр. тепломассобмена, теплопроводности) [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN control volume based finite difference schedule … Справочник технического переводчика
Схема: графический документ ; изложение, изображение, представление чего либо в самых общих чертах, упрощённо (например, схема доклада); электронное устройство, содержащее множество компонентов (интегральная схема). Графический документ… … Википедия
Разностная схема, построенная на основе вариационной задачи, соответствующей краевой задаче для дифференциального уравнения. Основная идея построения Р. в. с. состоит в том, чтобы при специальном выборе координатных функций в Ритца методе… … Математическая энциклопедия
Численные методы решения методы решения уравнений гииерболпч. типа на основе вычислительных алгоритмов. Различные математич. модели во многих случаях приводят к дифференциальным уравнениям гиперболич. типа. Такие уравнения имеют точные аиалитич.… … Математическая энциклопедия
Раздел вычислительной математики, изучающий методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем их замены конечноразностными уравнениями (р а з н о с т н ы м и с х е м а м и). Р. с. т. изучает способы построения разностных схем,… … Математическая энциклопедия
Численные методы решения для уравнений с частными производными приближенные методы решения, в результате к рых решение задачи представляется таблицей чисел. Точно решения (в виде явных формул, рядов и т. п.) К. з. можно построить лишь в редких… … Математическая энциклопедия
Методы решения задач газовой динамики на основе вычислительных алгоритмов. Рассмотрим основные аспекты теории численных методов решения задач газовой динамики, записав газовой динамики уравнения в виде законов сохранения в инерциальной… … Математическая энциклопедия электронная книга
Используя шаблон для каждого внутреннего узла области решения апроксимируется уравнение теплопроводности
Отсюда найдем:
Используя начальные и граничные условия, находят значения сеточной функции во всех узлах на нулевом временном уровне.
Затем с помощью соотношений
находятся значения этих функций во всех внутренних узлах на первом временном уровне, после чего находим значение на граничных узлах
В результате мы находим значение функций во всех узлах на первом временном уровне. После этого с помощью этих соотношений находим все остальные значения и т.д.
В рассматриваемой разностной схеме значения искомой функции на следующем временном уровне находится непосредственно, явно с помощью формулы
Поэтому рассматриваемая разностная схема, использующая этот шаблон, называется явной разностной схемой . Точность её имеет порядок .
Данная разностная схема проста в использовании, однако она обладает существенным недостатком. Оказывается, что явная разностная схема обладает устойчивым решением только в том случае, если выполняется условие :
Явная разностная схема является условно устойчивой . Если условие не выполняется, то небольшие погрешности вычислений, например, связанные с округлением данных компьютера приводит к резкому изменению решения. Решение становится неприемлемым для использования. Это условие накладывает весьма жесткие ограничения на шаг по времени, что может оказаться неприемлемым из-за значительного увеличения времени счета решения этой задачи.
Рассмотрим разностную схему, использующую другой шаблон
Метод 36
Неявная разностная схема для уравнения теплопроводности.
Подставим в уравнение теплопроводности:
Это соотношение записывается для каждого внутреннего узла на временном уровне и дополняется двумя соотношениями, определяющими значения в граничных узлах. В результате получается система уравнений для определения неизвестных значений функции на временном уровне.
Схема решения задачи следующая:
С помощью начальных и граничных условий находится значение функции на нулевом временном уровне. Затем с помощью этих соотношений и граничных условий строится система линейных алгебраических уравнений для нахождения значения функции на первом временном уровне, после чего опять с помощью этих соотношений строится система, и находятся значения на втором временном уровне и т.д.
Отличие от явной схемы - значения на очередном временном уровне вычисляются не непосредственно с помощью готовой формулы, а находится путем решения системы уравнений, т.е. значения неизвестных находятся неявно путем решения СЛАУ. Поэтому разностная схема называется неявной. В отличие от явной неявная является абсолютно устойчивой.
Тема №9
Задачи оптимизации.
Эти задачи являются одними из важнейших задач прикладной математики. Под оптимизацией понимают выбор наилучшего варианта из всех возможных решений данной задачи. Для этого необходимо сформулировать решаемую задачу как математическую, придав количественный смысл понятиям лучше или хуже. Обычно в процессе решения необходимо найти оптимизируемые значения параметров. Эти параметры называют проектными. А число проектных параметров определяет размерность задачи.
Количественная оценка решения производится с помощью некоторой функции зависящей от проектных параметров. Эта функция называется целевой . Она строится таким образом, чтобы наиболее оптимальное значение соответствовало максимуму(минимуму).
- целевая функция.
Наиболее просты случаи, когда целевая функция зависит от одного параметра и задаётся явной формулой. Целевых функций может быть несколько.
Например, при проектировании самолёта требуется одновременно обеспечить максимальную надежность, минимальные вес и стоимость и т.д. В таких случаях вводится система приоритетов . Каждой целевой функции ставится в соответствие некоторый целевой множитель в результате получается обобщенная целевая функция(функция компромиссов).
Обычно оптимальное решение ограничено рядом условий связанных с физической функцией задачи. Эти условия могут иметь вид равенств или неравенств
Теория и методы решения задач оптимизации при наличии ограничений составляют предмет исследований одного из разделов прикладной математики – математического программирования.
Если целевая функция линейна относительно проектных параметров и ограничения, накладываемые на параметры также линейны, то возникает задача линейного программирования . Рассмотрим методы решения одномерной задачи оптимизации.
Требуется найти значения на при которых целевая функция имеет максимальное значение. Если целевая функция задана аналитически и может быть найдено выражение для её производных, то оптимальное решение будет достигаться либо на концах отрезка, либо в точках в которых производная обращается в ноль. Это критические точки и . Необходимо найти значения целевой функции во всех критических точках и выбрать максимальное.
В общем случае для нахождения решения применяют различные методы поиска. В результате происходит сужение отрезка содержащего оптимальное решение.
Рассмотрим некоторые из методов поиска. Предположим, что целевая функция на промежутке имеет один максимум. В этом случае, разбив узловыми точками , число которых , вычисляют целевую функцию в этих узловых точках. Предположим, что максимальное значение целевой функции будет в узле , тогда можно считать, что оптимальное решение находится на интервале . В результате произведено сужение отрезка, содержащего оптимальное решение. Полученный новый отрезок вновь разбивают на частей и т.д. При каждом разбиении отрезок, содержащий оптимальное решение уменьшаются в раз.
Предположим, что произведено шагов сужения. Тогда исходный отрезок уменьшается в раз.
То есть, делаем пока выполняется (*)
При этом производится вычислений целевой функции.
Требуется найти такое значение, чтобы выражение (*) было получено при наименьшем
числе вычислений .
Метод 37
Метод половинного деления.
Рассмотрим метод поиска при . Он называется методом половинного деления, так как на каждом шаге отрезок, содержащий оптимальное решение уменьшается в два раза.
Эффективность поиска можно повысить путём специального выбора точек, в которых вычисляется целевая функция на определённом шаге сужения.
Метод 38
Метод золотого сечения.
Одним из эффективных способов является метод золотого сечения. Золотым сечением отрезка называется точка для которой выполняется условие
Таких точек две: =0,382 +0,618
0,618 +0,382 .
Отрезок делится точками и а после находится точка, целевая функция в которой максимальна. В результате чего находится изменённый отрезок длинною 0,618( - ) .
Одно значение золотого отрезка для суженного отрезка уже известно, поэтому на каждом последующем шаге требуется вычисление целевой функции только в одной точке (второй точки золотого сечения).
Метод 39
Метод покоординатного подъёма (спуска).
Перейдём к рассмотрению задачи оптимизации в случае, когда целевая функция зависит от нескольких значений параметров. Простейшим методом поиска является метод покоординатного подъёма (спуска).
Раздел ¹ 10. Численное решение уравнений в частных производных
Разностные схемы для уравнений эллиптического типа |
|
Различные краевые задачи и аппроксимация граничных условий |
|
Построение разностной схемы в случае задачи Дирихле для уравнения Пуассона |
|
Метод матричной прогонки |
|
Итерационный метод решения разностной схемы для задачи Дирихле |
|
Уравнение параболического типа. Явные и неявные конечноразностные методы |
|
Методы прогонки для уравнения параболического типа |
|
Предметный указатель |
Разностные схемы. Основные понятия
Пусть Д - некоторая область изменения независимых переменных x, y, ограниченная контуром. Говорят, что в области Д задано линейное дифференциальное уравнение второго порядка для функции U(x, y), если для любой точки из области Д имеет место соотношение
∂2 U |
∂2 U |
∂2 U |
|||||||||
∂x2 |
∂x2 |
||||||||||
G(x, y)U = f(x, y), |
|||||||||||
где a(x, y), b(x, y), . . . - коэффициенты, f(x, y) - свободный член уравнения. Эти функции известны и их обычно считают определенными в замкнутой области Д = Д + .
График решения представляет собой поверхность в пространстве Oxyz.
Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель
Обозначим δ(x, y) = b2 − ac. Уравнение L(U) = f называется эллиптическим, параболическим или |
гиперболическим в Д, если соответственно выполняются условия δ(x, y) < 0, δ(x, y) = 0, δ(x, y) > 0 для |
всех (x, y) Д. |
В зависимости от типа дифференциального уравнения по-разному ставятся граничные начальные |
(10.1): |
Уравнение Пуассона (уравнение эллиптического типа) |
∂2 U ∂2 U |
∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y) |
Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель |
Уравнение теплопроводности (уравнение параболическго типа)
∂U = ∂ 2 U + f(x, t) ∂t ∂x2
Волновое уравнение (уравнение гиперболического типа)
∂2 U ∂2 U
∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y)
Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем
Пусть U есть решение дифференциального уравнения
заданного в Д. Рассмотрим некоторое множество Дh = {Mh } состоящее из изолированных точек Mh , принадлежащих замкнутой области Д = Д + . Число точек в Дh , будем характеризовать величиной h; чем меньше h, тем большим будет число точек в Дh . Множество Дh называется сеткой, а точки Mh Дh - узлами сетки. Функция, определенная в узлах, называется сеточной функцией. Обозначим через U пространство непрерывных в D функций V (x, y). Через Uh обозначим пространство, образованное совокупностью сеточных функций Vh (x, y), определенных на Дh . В методе сеток осуществляется замена пространства U на пространство Uh .
Пусть U(x, y) - точное решение уравнения ((10.2 )) и U(x, y) принадлежит U. Поставим задачу отыскания значений Uh (x, y). Эти значения в совокупности образуют таблицу, в которой число значений
Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель
равно числу точек в Дh . Точно поставленную задачу удается решить редко. Как правило, можно вычислить некоторые сеточные значения U(h) , относительно которых можно предполагать, что
U(h) ≈ Uh (x, y).
Величины U(h) называются приближенными сеточными значениями решения U(x, y). Для их вычисления строят систему численных уравнений, которую мы будем записывать в виде
Lh (U(h) ) = fh , |
||||||||||||||
есть разностный оператор, |
соответствующий оператору |
|||||||||||||
зуется по F аналогично тому, как U |
образовывалось по U. Формулу (10.3 ) будем называть разностной |
|||||||||||||
схемой. Пусть в линейных пространствах Uh и Fh введены соответственно нормы k · kU h и k · kF h , которые являются сеточными аналогами норм k · kU и k · kF в исходных пространствах. Будем говорить, что разностная схема (10.3 ) является сходящейся, если при h → 0 выполняется условие
kUh (x, y) − Uh kU h → 0.
Если выполняется условие
kUh (x, y) − Uh kU h 6 chs ,
где c - постоянная, не зависящая от h и s > 0, то говорят, что имеет место сходимость со скоростью порядка s относительно h.
Говорят, что разностная схема (10.3 ) аппроксимирует задачу (10.2 ) на решении U(x, y), если
Lh (Uh (x, y)) = f(h) + δf(h) и |
δf(h) F h → 0 приh → 0. |
|
Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель
Величина δf(h) называется погрешностью аппроксимации или невязкой разностной схемы. Если
δf (h) F h 6 Mh σ, где M - константа, не зависящая от h и σ > 0, то говорят, что задана разностная схема (10.3 ) на решении U(x, y) с погрешностью порядка σ относительно h.
Разностная схема (3) называется устойчивой, если существует такое h0 > 0, что для всех h < h0 и любых f(h) Fh выполняются условия
Разностная схема (10.3 ) имеет единственное решение; |
||||
U (h) U h |
f(h) F h , где M - постоянная, не зависящая от h и f(h) . |
|||
Иначе говоря, разностная схема является устойчивой, если ее решение непрерывно зависит от входных данных. Устойчивость характеризует чувствительность схемы к различного рода погрешностям, она является внутренним свойством разностной задачи и это свойство не связывается непосредственно с исходной дифференциальной задачей, в отличие от сходимости и аппроксимации. Между понятиями сходимости, аппроксимации и устойчивости существует связь. Она состоит в том, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость.
Теорема 1 Пусть разностная схема L h (U h (x, y)) = f (h) аппроксимирует задачу L(U) = f на решении U(x, y) с порядком s относительно h и устойчива. Тогда эта схема будет сходиться, и порядок ее сходимости будет совпадать с порядком аппроксимации, т.е. будет справедлива оценка
Uh (x, y) − Uh U h 6 khs , |
||
где k - постоянная, не зависящая от h .
Доказательство . По определению аппроксимации имеем
Часть вторая книги посвящена построению и исследованию разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом мы введем основные в теории разностных схем понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости, которые носят общий характер. Знакомство с этими понятиями, полученное в связи с обыкновенными дифференциальными уравнениями, позволит в дальнейшем, при изучении разностных схем для уравнений с частными производными, сосредоточиться на многочисленных особенностях и трудностях, характерных для этого очень многообразного класса задач.
ГЛАВА 4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИМЕРЫ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
В этой главе мы рассмотрим вводные примеры разностных схем, предназначенные только для предварительного знакомства с основными понятиями теории.
§ 8. Понятие о порядке точности и об аппроксимации
1. Порядок точности разностной схемы.
Этот параграф посвящен вопросу сходимости решений разностных уравнений при измельчении сетки к решениям дифференциальных уравнений, которые они приближают. Мы ограничимся здесь исследованием двух разностных схем численного решения задачи
Начнем с простейшей разностной схемы, основанной на использовании разностного уравнения
Разобьем отрезок на шаги длины h. Удобно выбрать где N - целое число. Точки деления занумеруем слева направо, так что . Значение и, полученное по разностной схеме в точке будем обозначать Зададим начальное значение. Положим . Из разностного уравнения (2) вытекает соотношение
откуда находим решение уравнения (2) при начальном условии :
Точное же решение задачи (1) имеет вид . Оно принимает в точке значение
Найдем теперь оценку величины погрешности приближенного решения (3). Эта погрешность в точке будет
Нас интересует, как убывает при увеличении числа точек разбиения, или, что то же самое, при уменьшении шага разностной сетки. Для того чтобы выяснить это, представим в виде
Таким образом, равенство (3) примет вид
т. е. погрешность (5) стремится к нулю при и величина погрешности имеет порядок первой степени шага.
На этом основании говорят, что разностная схема имеет первый порядок точности (не путать с порядком разностного уравнения, определенным в § 1).
Решим теперь задачу (1) с помощью разностного уравнения
Это не так просто, как может показаться на первый взгляд. Дело в том, что рассматриваемая схема является разностным уравнением второго порядка, т. е. требует задания двух начальных условий тогда как интегрируемое уравнение (1) есть уравнение первого порядка и для него мы задаем только . Естественно и в разностной схеме положить .
Не ясно, как задавать их. Чтобы разобраться в этом, воспользуемся явной формой решения уравнения (7) (см. § 3 формулы ):
Разложения (9) по формуле Тейлора корней характеристического уравнения позволяют дать приближенные представления для Проведем подробно вывод такого представления -
Так как , то
Не будем проводить совершенно аналогичной выкладки для , а выпишем сразу результат:
Подставив приближенные выражения для в формулу (8), получим
Все дальнейшие выводы мы будем получать путем исследования этой формулы.
Заметим, что если коэффициент стремится при к конечному пределу b, то первое слагаемое правой части равенства (12) стремится к искомому решению задачи (1).
конфигурация узлов, значения сеточной функции в которых определяют вид разностных уравнений во внутренних (не приграничных) точках сетки. Как правило, на рисунках с изображениями шаблонов точки, участвующие в вычислении производных, соединяются линиями.Схема Куранта - Изаксона - Риса
(КИР), которую иногда также связывают
с именем С.К. Годунова, получается при , 
. Ее порядок аппроксимации . Схема КИР условно устойчива, т.е. при выполнении условия Куранта 
. Приведем разностные уравнения для схемы Куранта - Изаксона - Риса во внутренних точках расчетной области:
Эти схемы, имеющие также название схемы с разностями против потока (в англоязычной литературе - upwind) могут быть записаны в виде
Их преимущество состоит в более точном учете области зависимости решения. Если ввести обозначения
то обе схемы можно записать в следующих формах:
(потоковая форма разностного уравнения);
(здесь явно выделен член со второй разностью, придающий устойчивость схеме);
(уравнение в конечных приращениях).
Рассмотрим также метод неопределенных коэффициентов для построения разностной схемы правый уголок первого порядка точности для уравнения переноса
Схему можно представить в виде
Схема Куранта - Изаксона - Риса тесно связана с численными методами характеристик . Дадим краткое описание идеи таких методов.
Две последние полученные схемы (при разных знаках скорости переноса) можно
интерпретировать следующим образом. Построим характеристику
, проходящую через узел (t n + 1 , x m
), значение
в котором необходимо определить, и пересекающую слой t n
в точке 
. Для определенности считаем, что скорость переноса c положительна.
Проведя линейную интерполяцию между узлами x m - 1 и x m на нижнем слое по времени, получим
Далее перенесем вдоль характеристики
значение
u n (x")
без
изменения на верхний слой t n + 1
, т.е. положим 
. Последнее значение
естественно считать приближенным решением однородного уравнения
переноса. В таком случае
или, переходя от числа Куранта снова к сеточным параметрам,
т.е. другим способом пришли к уже известной схеме "левый уголок", устойчивой при . При точка пересечения характеристики , выходящей из узла (t n + 1 , x m , с n - м слоем по времени расположена левее узла (t n , x m - 1 ). Таким образом, для отыскания решения используется уже не интерполяция , а экстраполяция, которая оказывается неустойчивой.
Неустойчивость схемы "правый уголок" при c > 0 также очевидна. Для доказательства этого можно использовать либо спектральный признак, либо условие Куранта, Фридрихса и Леви. Аналогичные рассуждения можно провести и для случая c < 0 и схемы "правый уголок".
Неустойчивая четырехточечная схема
получается при 
, ее порядок аппроксимации . Сеточные уравнения для разностной схемы будут иметь следующий вид:
Схема Лакса - Вендроффа
возникает при 
. Порядок аппроксимации схемы Лакса - Вендроффа есть 
. Схема устойчива при выполнении условия Куранта .
Эту схему можно получить либо методом неопределенных коэффициентов, либо путем более точного учета главного члена погрешности аппроксимации. Рассмотрим процесс вывода схемы Лакса - Вендроффа подробнее. Проводя исследование предыдущей четырехточечной схемы на аппроксимацию (а исследование это довольно элементарно и сводится к разложению функции проекции на сетку точного решения дифференциальной задачи в ряд Тейлора), получим для главного члена погрешности
При выводе выражения для главного члена погрешности аппроксимации использовано следствие исходного дифференциального уравнения переноса
Которое получается путем дифференцирования исходного уравнения (3.3) сначала по времени t , затем по координате x и вычитанием одно из другого получившихся соотношений.
Далее, заменяя вторую производную
во втором слагаемом в правой части с
точностью до O(h 2)
, получим новую разностную схему, аппроксимирующую исходное дифференциальное уравнение
с точностью . Сеточные уравнения для схемы Лакса - Вендроффа во внутренних узлах расчетных сеток есть
Неявная шеститочечная схема
возникает при q = 0
; при ее порядок аппроксимации , при .
